关于有限域 $\gf_{2^n}$ 上的 $2$ 至 $1$ 映射的新构造及其二进线性码的应用

$2$ 至 $1$ 映射在有限域上的构造在组合数学和编码理论中具有广泛应用。因此，近期对 $2$ 至 $1$ 映射的构造引起了广泛关注。基于总结有限域特征为偶数时所有 $2$ 至 $1$ 映射的现有构造结果，本文首先将广义切换方法应用于 $2$ 至 $1$ 映射的研究，即构造形式为 $F(x)=G(x)+{\rm Tr}_{q^l/q}(R(x))$ 的 $2$ 至 $1$ 映射，其中 $G$ 为单项式，$R$ 为单项式或二项式。运用 Dickson 多项式理论的性质和低阶方程的完整特征，本文构造了 $16$ 类新的 $2$ 至 $1$ 映射，这些映射与现有的任何 $2$ 至 $1$ 多项式均不具 QM 等价性。其中 $9$ 类形式为 $cx + {\rm Tr}_{q^l/q}(x^d)$，另有 $7$ 类形式为 $cx + {\rm Tr}_{q^l/q}(x^{d_1} + x^{d_2})$。这些新的无限类在 $q=2^k$、$k>1$、$kl<14$ 且 $c \in \gf_{q^l}^*$ 的条件下，解释了大部分 MAGMA 下的数值结果。最后，我们使用新提出的形式为 $cx + {\rm Tr}_{q^l/q}(x^d)$ 的 $2$ 至 $1$ 映射构造了一些二进线性码。这些码的权分布也被确定。有趣的是，我们的码是自矢盾的、最小的，并且具有 few weights。