关于 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上 $2$-到-$1$ 映射的进一步研究

有限域上的 $2$-到-$1$ 映射在对称密码学中起着重要作用，特别是在 APN 函数、bent 函数、半 bent 函数等的构造中。最近，Mesnager 和 Qu \cite{MQ2019} 对有限域上的 $2$-到-$1$ 映射进行了系统研究。特别地，他们确定了任意有限域上次数不超过 4 的所有 $2$-到-$1$ 映射。此外，另一研究方向是考虑少项的 $2$-到-$1$ 多项式。\cite{MQ2019} 中已得到关于 $2$-到-$1$ 单项式与二项式的一些结果。受他们工作的启发，本文进一步推进 $2$-到-$1$ 映射的研究，特别是特征为 $2$ 的有限域（二进制情形对应用最为有趣）。首先，我们利用著名的 Hasse-Weil 界完全确定了 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上次数为 $5$ 的 $2$-到-$1$ 多项式。此外，我们考虑少项的 $2$-到-$1$ 映射，主要是三项式和四项式。利用多元方法和两个多项式的结式，我们给出了两类 $2$-到-$1$ 三项式，它们解释了形式为 $x^k+\beta x^{\ell} + \alpha x\in\mathbb{F}_{{2^n}}[x]$ 的 $2$-到-$1$ 三项式在 $\mathbb{F}_{{2^n}}$ 上且 $n\le 7$ 的所有例子，并导出了 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上具平凡系数的十二类 $2$-到-$1$ 四项式。