正特征域下理想证明系统的新下界

本文在正特征域上对理想证明系统（IPS）的多个片段证明出上界和下界。该系统由 Grochow 和 Pitassi (J. ACM 2018) 引入。我们的结果扩展了 Forbes、Shpilka、Tzameret 和 Wigderson (Theory of Computing 2021) 以及 Govindasamy、Hakoniemi 和 Tzameret (FOCS 2022) 的工作。这些工作主要关注特征为 0 的域上的证明系统，我们能够将这些结果推广到正特征域。证明正特征域上的一般 IPS 下界的问题，源于对 $AC^{0}[p]$-Frege 下界的重要问题。这一联系由 Grochow 和 Pitassi (J. ACM 2018) 观察到。额外的动机来自 Forbes (CCC 2024) 最近在代数复杂性理论方面的发展，他展示了如何将特征为 0 的下界推广到正特征域。在本文中，我们采用 Forbes 等人 (Theory of Computing 2021) 的函数下界方法，为 IPS 的各种子系统证明指数级下界。此外，我们还推导了上界，表明上述实例具有高效常数深度 IPS 证明。我们还表明常数深度 IPS 可以有效地反证所有对称实例，从而进一步揭示了这些代数证明在正特征域下的强大能力。值得注意的是，我们的下界适用于任意特征域，但要求场的大小为 $n^{\omega(1)}$。在 Concurrent work 中，Elbaz、Govindasamy、Lu 和 Tzameret 已通过考虑不同硬实例，在有限域的任意大小上对受限制的 IPS 类目下界进行了证明。