通过缺失字符串的通信复杂性建立新的代数化障碍限制电路下界

代数化障碍（algebrization barrier）由 Aaronson 和 Wigderson 提出（STOC '08, ToCT '09），揭示了基于算术化技术的许多复杂性理论方法的局限性。值得注意的是，一些突破相对化障碍（Buhrman--Fortnow--Thierauf, CCC '98；Vinodchandran, TCS '05；Santhanam, STOC '07, SICOMP '09）的电路下界仍受制于代数化障碍。本文通过研究以下问题的通信复杂性——称为 XOR-Missing-String：对于 $m < 2^{n/2}$，Alice 获取 $m$ 个字符串 $x_1, \dots, x_m\in\{0, 1\}^n$，Bob 获取 $m$ 个字符串 $y_1, \dots, y_m\in\{0, 1\}^n$，目标是输出一个字符串 $s\in\{0, 1\}^n$，其不等于 $x_i\oplus y_j$ 中任意 $i, j\in [m]$ 的值。1. 我们构造一个 oracle $A_1$ 及其多项式延拓 $\widetilde{A_1}$，使得 ${\sf PostBPE}^{\widetilde{A_1}}$ 在无限多个输入长度上拥有线性大小的 $A_1$-oracle 电路。2. 我们构造一个 oracle $A_2$ 及其多项式延拓 $\widetilde{A_2}$，使得 ${\sf BPE}^{\widetilde{A_2}}$ 在所有输入长度上拥有线性大小的 $A_2$-oracle 电路。3. 我们研究 $\sf MA_E$ 电路下界的代数化障碍。Buhrman、Fortnow 和 Thierauf 通过代数化技术证明了 $\sf MA_E$ 的亚半指数级电路下界。为理解半指数级下界是否可提升，本文定义了一个包含其硬语言的自然 $\sf MA_E$ 子类，并证明：对于每一个超半指数级函数 $h(n)$，我们构造一个 oracle $A_3$ 及其多项式延拓 $\widetilde{A_3}$，使得该自然子类 ${\sf MA}_{\sf E}^{\widetilde{A_3}}$ 在所有输入长度上拥有 $h(n)$-大小的 $A_3$-oracle 电路。