Forrelation 异或的下界

Forrelation 问题由 Aaronson [A10] 以及 Aaronson 和 Ambainis [AA15] 提出，是在区分量子与经典模型的背景下被深入研究的问题。该问题的变体曾被用来给出量子与经典查询复杂度 [A10, AA15]、量子查询复杂度与有界深度电路 [RT19]、以及量子与经典通信复杂度 [GRT19] 之间的指数级分离。在所有这些分离中，经典模型的下界仅当协议的优势（相对于随机猜测）大于 $\approx 1/\sqrt{N}$ 即成功概率大于 $\approx 1/2 + 1/\sqrt{N}$ 时才成立。为在经典协议优势更小时实现分离，我们在本工作中研究 $k$ 个独立 Forrelation 函数副本的异或（其中 $k\ll N$）。我们证明了一个非常一般的结果：任何在限制下封闭、其 2k 阶 Fourier 质量以 $\alpha^k$ 为界的布尔函数族，不能以优于 $O\left(\frac{\alpha^k}{{N^{k/2}}}\right)$ 的优势计算 $k$ 个独立 Forrelation 函数副本的异或。这是对 [CHLT19] 结果的强化，该文利用 [RT19] 的技术给出了 $k=1$ 时的类似结果。作为我们结果的应用，我们给出了首个部分布尔函数的例子，它可由代价为 $\mbox{polylog}(N)$ 的同步消息量子协议（当玩家共享 $\mbox{polylog}(N)$ 个 EPR 对时）计算，然而任何代价不超过 $\tilde{o}(N^{1/4})$ 的经典交互随机协议相对于随机猜测仅有拟多项式小的优势。我们还给出了首个部分布尔函数的例子，它具有代价为 $\mbox{polylog}(N)$ 的量子查询算法，并且任何拟多项式大小的常数深度电路相对于随机猜测仅有拟多项式小的优势。