用于微分方程解析解的神经符号人工智能

微分方程的解析解能提供精确、可解释的洞察，但很少能得到，因为发现它们需要专家直觉或对组合空间进行穷举搜索。我们引入了SIGS，一个用于方程驱动的闭式解发现的神经符号框架。SIGS 使用上下文无关文法生成数学上有效且物理上有意义的构建块，并采用用户指定的 Ansatz 规定这些块如何组合，将它们嵌入到一个拓扑正则化的连续潜在流形中，并分两个阶段搜索该流形：先进行结构选择，然后使用梯度下降进行系数优化，仅根据偏微分方程（PDE）残差以及规定的边界条件和初始条件对候选解进行评分。这种设计将符号推理与数值优化统一起来；文法约束候选解块在构造上就是正确的，而潜在搜索使探索变得易于处理且无需数据。SIGS 是首个能够（i）恢复耦合非线性 PDE 系统的解析解，（ii）在文法缺乏自然基元时发现等价的符号形式，以及（iii）为缺乏已知闭式解的 PDE 生成精确的符号近似的神经符号方法。总体而言，在标准 PDE 基准测试中，SIGS 在精度和运行时间上都比现有的符号方法提高了数个数量级。