基追踪精确重构的必要矩条件

设 $X=(x_1,...,x_n)$ 为满足弱小球性质的随机向量，且其坐标 $x_i$ 满足对于 $p \sim \log n$，有 $\|x_i\|_{L_p} \lesssim \sqrt{p} \|x_i\|_{L_2}$。在 \cite{LM_compressed} 中表明，$N$ 个独立的 $X$ 副本可用作压缩感知中的测量向量（使用基追踪算法），以最优测量次数 $N\gtrsim d \log\big(e n/d\big)$ 重构任意 $d$-稀疏向量。在本注记中，我们表明该结果几乎是-optimal 的。我们构造了一个具有独立同分布、均值为零、方差为 1 的坐标的随机向量 $X$，它满足相同的弱小球性质，且其坐标对于 $p \sim (\log n)/(\log N)$ 满足 $\|x_i\|_{L_p} \lesssim \sqrt{p} \|x_i\|_{L_2}$，但基追踪算法甚至无法恢复 1-稀疏向量。该构造表明，“尖峰”测量向量可能导致基追踪算法性能不佳，但另一方面，如果选择不同的重构算法（如 $\ell_0$-最小化），其表现仍可能是最优的。这揭示了当使用“尖峰”测量向量时，$\ell_0$-最小化的凸松弛会带来显著代价。