任意矩阵存在 LU 分解的充分必要条件

若 $A$ 是域 $F$ 上的 n 阶矩阵（$A\in M_{n}(F)$），则当存在下三角矩阵 $L\in M_{n}(F)$ 与上三角矩阵 $U\in M_{n}(F)$ 使得 $$A=LU$$ 时，称 $A$ “有 LU 分解”。我们给出矩阵可 LU 分解的充分必要条件。并给出计算 LU 分解的简单算法。它是高斯消元算法到不一定可逆矩阵情形的推广。我们考虑将无 LU 分解的矩阵分解为“几乎下三角”矩阵与“几乎上三角”矩阵之积的可能性。对“几乎”的含义有许多形式化方式。我们考虑其中若干并导出充分必要条件。同时给出计算“几乎 LU 分解”的简单算法。