多元子模优化

近年来，子模函数在数据科学和机器学习模型中发现了大量新应用。这与子模优化领域的许多算法进展相伴而生：(SO) $\min/\max~f(S): S \in \mathcal{F}$，其中$\mathcal{F}$是基集$V$上给定的一族可行集，且$f:2^V \rightarrow \mathbb{R}$是子模的。本工作中我们关注一类更通用的\emph{多元子模优化}(MVSO)问题：$\min/\max~f (S_1,S_2,\ldots,S_k): S_1 \uplus S_2 \uplus \cdots \uplus S_k \in \mathcal{F}$。这里我们用$\uplus$表示不交并，因此该模型在资源被分配给$k$个代理时具有吸引力，这些代理共享一个“联合”多元非负目标$f(S_1,S_2,\ldots,S_k)$，该目标捕获了某种子模性（即收益递减）性质。我们提供了一些显式例子和该新框架的潜在应用。对于最大化，我们展示了实用算法如加速贪心变体和分布式算法对非常通用的族（如拟阵和$p$-系统）实现了良好的近似保证。对于任意族，我们证明了单调（相应非单调）MVSO允许$\alpha (1-1/e)$（相应$\alpha \cdot 0.385$）近似，只要单调（相应非单调）SO在多重线性表述下允许$\alpha$-近似。这大幅扩展了子模最大化可处理模型的族。对于最小化，我们展示若SO在\emph{模}函数上允许$\beta$-近似，则MVSO允许$\frac{\beta \cdot n}{1+(n-1)(1-c)}$-近似，其中$c\in [0,1]$表示$f$的曲率，且这基本紧。最后，我们证明只要SO在凸表述下允许$\alpha$-近似，MVSO就有$\alpha k$-近似。