特征值的重数与整数的二次表示

我们研究了二维矩形或 torus 上拉普拉斯算子非零特征值的重数集合 $M$。我们证明，对于边长比为 $r$ 的矩形，若且仅当 $r^2$ 为有理数时，$M=\mathbb{N}$（所有正整数的集合）。对于生成向量长度为 $r$ 且它们之间的夹角为 $\theta$ 的 torus，我们证明 $M$ 为无限集合当且仅当 $r\cos\theta$ 和 $r^2$ 均为有理数。在此情况下，$M=2\mathbb{N}$，$4\mathbb{N}$，或 $6\mathbb{N}$，我们依据 $r\cos\theta$ 和 $r^2$ 对每种情况给出了表征。当至少一个 $r\cos\theta$ 或 $r^2$ 为无理数时，我们证明 $M=\{2\}$ 或 $\{2, 4\}$，并对这些情况给出表征。我们通过研究扩张椭圆上整格点的数目来证明这些结果。