多重交点与因子分解

我们解决了对偶多重交点问题，并证明了对于任意域和由 $k_j$-平面构成的多重交点，存在所谓的“因子分解”。更一般地，我们推导了本质上归于 Bourgain 和 Guth 的定理的一个离散类比。我们的结果是一个通用陈述，描述了离散楔积的一个性质，而无需显式提及多重交点，表述如下：假设 $k_1 + \ldots + k_d = n$。存在常数 $C=C(n)$，使得对于任意域 $\mathbb{F}$ 和任意有限支撑函数 $S : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，存在因子分解函数 $s_{k_j} : \mathbb{F}^n\times \mathrm{Gr}(k_j, \mathbb{F}^n)\rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，使得对每一点 $p\in \mathbb{F}^n$ 和每一组平面 $V_j\in \mathrm{Gr}(k_j, \mathbb{F}^n)$ 有 $$(V_1 \wedge\cdots\wedge V_d)S(p)^d \leq C\prod_{j=1}^d s_{k_j}(p, V_j),$$ 且对每一个 $k_j$-平面 $\pi_j\subset \mathbb{F}^n$ 有 $$\sum_{p\in \pi_j} s(p, e(\pi_j)) =||S||_d,$$ 其中 $e(\pi_j)\in \mathrm{Gr}(k_j,\mathbb{F}^n)$ 表示包含原点的 $\pi_j$ 的平移，$\wedge$ 表示离散楔积。