基于改进矩阵束方法的多核解混与超分辨率

考虑 $L$ 组点源或脉冲序列，第 $l^{\text{th}}$ 组由 $x_l(t)$ 表示。对于函数 $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，令 $g_l(t) = g(t/\mu_l)$ 表示尺度为 $\mu_l > 0$ 的点扩散函数，且 $\mu_1 < \cdots < \mu_L$。给定 $y(t) = \sum_{l=1}^{L} (g_l \star x_l)(t)$，我们的目标是在给定 $y$ 的样本或给定 $y$ 的傅里叶样本时恢复源参数。该问题是通常超分辨率设置（$L = 1$）的推广；我们称之为多核解混超分辨率问题。假设可获取 $y$ 的傅里叶样本，我们推导一种估计各组源参数并带有精确非渐近保证的算法。我们的方法按尺度参数递增顺序（即从第 $1$ 组到第 $L$ 组）依次估计组参数。特别地，第 $1 \leq l \leq L$ 阶段的估计过程包括 (i) 仔细采样 $y$ 傅里叶变换的尾部，(ii) 一个\emph{ deflation }（缩减）步骤，即从所得傅里叶样本中减去已处理各组的贡献，以及 (iii) 对 (ii) 中样本的去卷积版本应用 Moitra 的改进矩阵束方法。