MOD-Net：一种基于模型-算子-数据网络求解偏微分方程的机器学习方法
数值分析
2022-09-07 v2 机器学习
数值分析
摘要
本文提出一种通过模型-算子-数据网络（MOD-Net）求解偏微分方程的机器学习方法。MOD-Net由模型驱动，基于算子表示并借助数据正则化来求解偏微分方程。对于线性偏微分方程，我们使用深度神经网络（DNN）参数化格林函数，并根据格林法获得近似解的神经算子。为训练DNN，经验风险由控制方程与边界条件的最小二乘公式或变分公式的均方损失构成。对于复杂问题，经验风险还包括少量标签，这些标签在粗网格点上以廉价计算成本获得，并显著提高了模型精度。直观上，带标签数据集作为模型约束之外的正则化项。MOD-Net求解一族偏微分方程而非某一个特定方程，且比原始神经算子高效得多，因为仅需少量昂贵标签。我们通过数值实验表明MOD-Net在求解泊松方程和一维辐射传递方程时非常高效。对于非线性偏微分方程，非线性MOD-Net可类似地用作求解非线性偏微分方程的试探解，并以求解Burgers方程等若干非线性偏微分方程问题为例加以说明。
引用
@article{arxiv.2107.03673,
title = {MOD-Net: A Machine Learning Approach via Model-Operator-Data Network for Solving PDEs},
author = {Lulu Zhang and Tao Luo and Yaoyu Zhang and Weinan E and Zhi-Qin John Xu and Zheng Ma},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.03673},
year = {2022}
}