带背包约束的多项罗吉特_bandit问题：一种近最优算法

我们考虑一个动态 assortment 选择问题，其中卖家拥有 $N$ 种可替代产品的固定库存，并面对在 $T$ 个时期内顺序到达的未知需求。在每个时期，卖家需要决定向顾客提供的产品 assortment（满足某些约束）。顾客的响应遵循参数为 $\boldsymbol{v}$ 的未知多项罗吉特模型（MNL）。如果顾客选择产品 $i \in [N]$，卖家获得收益 $r_i$。卖家的目标是在给定 $N$ 种产品的固定初始库存下，最大化来自 $T$ 个顾客的总期望收益。我们提出 MNLwK-UCB，一种基于 UCB 的算法，并刻画了其在不同库存规模情形下的 regret。我们证明当库存规模随时间拟线性增长时，MNLwK-UCB 达到 $\tilde{O}(N + \sqrt{NT})$ 的 regret 界。我们还证明对于较小的库存（增长为 $\sim T^{\alpha}$，$\alpha < 1$），MNLwK-UCB 达到 $\tilde{O}(N(1 + T^{\frac{1 - \alpha}{2}}) + \sqrt{NT})$。特别地，在长时间范围 $T$ 上，无论约束和库存规模如何，总是能达到 $\tilde{O}(\sqrt{NT})$ 的速率。