基于极值理论的 I.I.D. 先知不等式最小化：统一方法

I.I.D. 先知不等式是一个基本问题：给定 $n$ 个独立随机变量 $X_1,\dots,X_n$ 来自已知分布 $\mathcal{D}$，需在每一步 $i$ 决定是接受 $X_i$ 还是永久丢弃并继续。目标是最大化或最小化所选值并与全知预言子竞争。对于最大化，已知紧致常数竞争比约为 $\approx 0.745$ (Correa 等, 2019)，而最小化在本质上不同：最优常数是分布相关的且可任意大 (Livanos 和 Mehta, 2024)。本文我们通过极值理论视角提供了分析最优阈值算法的新框架。我们指出最小化情境下的竞争比具有闭式表达式，由函数 $\Lambda$ 描述，该函数仅依赖于极值指数 $\gamma$；特别是，当 $\gamma \leq 0$ 时，对应于 $\Lambda(\gamma)$。尽管最大化和最小化在本质上存在差异，我们的框架却具有普适性，我们也恢复了 (Kennedy 和 Kertz, 1991) 对最大化的结果。令人惊讶的是，最大化的最优竞争比仍由相同函数 $\Lambda(\gamma)$ 给出，但此时 $\gamma \geq 0$。在此过程中，我们获得了若干关于算法和预言子目标的极值理论视角下的结果，或许本身也具有独立的兴趣。我们随后研究最小化的单阈值算法。利用极值理论，我们推广了 (Livanos 和 Mehta, 2024) 仅适用于特定分布类的结果，获得 $n$ 的对数多项式保证。最后，我们考虑最小化的 $k$ 多单元先知不等式，证明当 $k \geq \log{n}$ 时存在常数竞争单阈值算法。