极小多项式外推法与降秩外推法相关

极小多项式外推(MPE)和降秩外推(RRE)是两种用于加速向量序列 ${{x}_m}$ 收敛的多项式方法。它们与不动点迭代格式结合，成功应用于科学和工程不同学科中大型稀疏线性与非线性方程组的求解。两种方法都产生对 ${{x}_m}$ 极限或反极限的逼近 $s_k$，其形式为 ${s}_k=\sum^k_{i=0}\gamma_i{x}_i$ 且满足 $\sum^k_{i=0}\gamma_i=1$，其中 $\gamma_i$ 为某些标量。这两种方法的推导方式表明它们可能以某种方式彼此相关；然而迄今为止尚未被探讨。在这项工作中，我们处理该问题并证明两方法产生的向量 $s_{k}^\text{MPE}$ 和 $s_k^\text{RRE}$ 以不止一种方式相关，且与 $x_m$ 的生成方式无关。我们的一个结果指出，RRE 停滞（即 ${s}_k^\text{RRE}={s}_{k-1}^\text{RRE}$）当且仅当 ${s}_{k}^\text{MPE}$ 不存在。另一个结果指出，当 ${s}_{k}^\text{MPE}$ 存在时，成立 $$\mu_k{s}_k^\text{RRE} = \mu_{k-1}{s}_{k-1}^\text{RRE} + \nu_k{s}_{k}^\text{MPE} \quad \text{with} \quad \mu_k = \mu_{k-1} + \nu_k,$$ 其中某些正标量 $\mu_k$、$\mu_{k-1}$ 和 $\nu_k$ 仅分别依赖于 ${s}_k^\text{RRE}$、${s}_{k-1}^\text{RRE}$ 和 ${s}_{k}^\text{MPE}$。我们的结果在 MPE 和 RRE 定义于任意加权内积及其诱导的范数时成立。它们还包含作为特例的已知结果，即关于 Arnoldi 方法与广义极小残差方法（两种求解非奇异线性系统的重要 Krylov 子空间方法）之间联系的结果。