非线性系统上降秩外推的收敛性研究

降秩外推（RRE）是一种多项式型方法，用于加速向量序列 $\{\boldsymbol{x}_m\}$ 的收敛。它已成功应用于科学与工程的不同学科中，用于求解超大维数的大型稀疏线性与非线性方程组。若 $\boldsymbol{s}$ 为方程组 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 的解，首先通过不动点迭代格式 $\boldsymbol{x}_{m+1}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_m)$、$m=0,1,\ldots$ 生成向量序列 $\{\boldsymbol{x}_m\}$，随后对该序列应用 RRE 以加速其收敛。RRE 产生对 $\boldsymbol{s}$ 的逼近 $\boldsymbol{s}_{n,k}$，其形式为 $\boldsymbol{s}_{n,k}=\sum^k_{i=0}\gamma_i\boldsymbol{x}_{n+i}$，其中某些标量 $\gamma_i$ 非线性地依赖于 $\boldsymbol{x}_n, \boldsymbol{x}_{n+1},\ldots,\boldsymbol{x}_{n+k+1}$ 且满足 $\sum^k_{i=0}\gamma_i=1$。当与线性 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 结合使用时 RRE 的收敛性质已在多种文献中分析。本文讨论由 RRE 所得 $\boldsymbol{s}_{n,k}$ 在非线性 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 下的收敛性：（i）当 $k$ 固定且 $n\to\infty$ 时；以及（ii）在两种所谓的循环（cycling）模式下。