有向图中电阻的度量与超度量不等式

考虑一个电路 $G$，其每条有向边 $e$ 均为半导体，具有单项电导函数：当 $y_e \geq 0$ 时 $y_e^* = f_e(y_e) = y_e^s / \mu_e^r$，当 $y_e \leq 0$ 时 $y_e^* = 0$。这里 $e$ 为有向边，$y_e$ 为电势差（电压），$y_e^*$ 为 $e$ 中的电流，$\mu_e$ 为 $e$ 的电阻；此外，$r$ 和 $s$ 为所有边共有的两个严格正实参数。特别地，情形 $r = s = 1$ 对应于欧姆定律，而 $r = \frac{1}{2}, s =1$ 可解释为水力学与气体动力学中典型的电阻平方律。我们将证明，对电路中任意有序节点对 $a, b$，有效电阻 $\mu_{a,b}$ 良定义。换言之，任一以 $a$ 和 $b$ 为极点的二端网络均可有效替换为两条反向有向边：从 $a$ 到 $b$ 的电阻为 $\mu_{a,b}$，从 $b$ 到 $a$ 的电阻为 $\mu_{b,a}$。此外，对任意三个节点 $a, b, c$，不等式 $\mu_{a,c}^{s/r} + \mu_{c,b}^{s/r} \geq \mu_{a,b}^{s/r}$ 成立，且等号成立当且仅当每条从 $a$ 到 $b$ 的有向路径均包含 $c$。MSC 分类：11J83, 90C25, 94C15, 94C99