星自由语言与群语言的度数论视角

若语言 $L$ 属于某语言类 ${\cal C}$，则称 $L$ 为 ${\cal C}$-可测语言。我们考察 ${\cal C}$ 为星自由语言（star-free languages, SF）和群语言（group languages, G）时，可测性的性质。证明若语言 $L$ 为 SF-可测，当且仅当 $L$ 为 GD-可测，其中 GD 为广义确定语言类（星自由语言的一个更受限制的子类）。这意味着 GD 与 SF 拥有相同的“测量能力”，而 GD 是 SF 的一个非常受限制的真子类。此外，我们给出星自由可测正则语言的纯代数描述，这是施图姆策贝拉（Schutzenberger）定理的一个自然延伸，后者阐述了星自由语言与非周期单半群之间的对应关系。我们还展示了星自由语言与群语言的概率独立性，这是前述结果的一个重要应用。最后，尽管星自由语言与广义确定语言的测量能力相等，但对于群语言的子类情况则恰恰相反：对于任意两个局部子varieties ${\cal C} \subsetneq {\cal D}$，都有 $\{L \mid L \text{ 为 } {\cal C}\text{-可测}\} \subsetneq \{ L \mid L \text{ 为 } {\cal D}\text{-可测}\}$。