量子态估计的最大对数导数界作为 Holevo 界的对偶

在量子估计理论中，Holevo 界是无偏估计量协方差的加权迹的下界，这是众所周知的。Holevo 界由一个最小化问题的解定义，一般而言其显式解未知。当 Hilbert 空间维数为二且参数个数为二时，Suzuki 给出了 Holevo 界的显式形式。本文中，我们关注由 $\beta\in[0,1]$ 参数化的、介于对称对数导数（SLD）与右对数导数（RLD）之间的对数导数，以获得无偏估计量协方差加权迹的下界。我们引入最大对数导数界作为关于 $\beta$ 的诸界的最大值。我们证明所有单调度量均导出下界，且最大对数导数界是其中最大的界。我们证明当 $d$ 维模型具有 $d+1$ 维的 SLD 切空间的 $\mathcal{D}$ 不变扩张时，最大对数导数界有显式解。进一步，当 $d=2$ 时，我们证明定义最大对数导数界的最大化问题是定义 Holevo 界的最小化问题的拉格朗日对偶，且与 Holevo 界相同。该显式解是 Suzuki 所给二维 Hilbert 空间解的一般化。我们还给出了可应用本理论的量子态族的例子，其不仅限于二维 Hilbert 空间。