在线图搜索中最大化连通分支的期望数目

本文考虑如下最优停止问题。图$G$的顶点按随机顺序逐个展现给选择者。他的目标是在某个时刻$t$停止该过程，以最大化由当前已展现顶点所诱导的图$\tilde{G}_t$中连通分支的期望数目。选择者预先知道$G$，但根据他所获得的关于$\tilde{G}_t$的信息不同，考虑了该博弈的不同版本。我们证明，当$G$有$N$个顶点且最大度为$o(\sqrt{N})$阶时，$\tilde{G}_t$的连通分支数集中在其均值附近，这意味着采用最优策略的选择者即便获得更多关于$\tilde{G}_t$的信息也获益甚微。类似性质的结果此前由M. Lasoń在$G$为$k$-树（常数$k$）的情形下得到。我们还考虑了$G$为正方形、三角形或六边形格点的特例，表明最优选择者获得$cN$个连通分支，并在每种情形下将$c$的计算误差控制在小于0.005。