少量子比特态的最大树尺寸

树尺寸（$\rm{TS}$）是衡量多量子比特态复杂度的一个有趣指标：它不仅原则上是可计算的，而且可以获得其下界。通过这种方式，人们已经能够识别出复杂度随量子比特数呈超多项式缩放态族。为了系统地研究 $\rm{TS}$ 的数学性质，本文刻画了量子比特数较少（即 3 或 4 个）时纯态的树尺寸。对三个量子比特的研究并未带来太大意外，因为其纠缠结构相当简单；发现最大 $\rm{TS}$ 为 8，例如 $|\rm{W}\rangle$ 态即可达到该值。对四个量子比特的研究得出若干见解：特别是，发现态的最经济描述并非递归的。发现最大 $\rm{TS}$ 为 16，例如一个称为 $|\Psi^{(4)}\rangle$ 的态即可达到该值，该态此前已在四光子下转换实验的背景下被讨论过。我们还发现，具有最大树尺寸的态构成一个零测集：在态的邻域上对树尺寸进行平滑处理（$\epsilon-\rm{TS}$）会将最大值分别降低至 6 和 14。最后，我们引入了混合态树尺寸的概念，并针对单参数态族进行了讨论。