极大不等式与加权 BMO 过程

对于一个取值于度量空间 $(\mathcal E,d)$ 的一般适应可积右连左极（RCLL）过程 $(X_t)_{t\in[0,\tau]}$，我们证明（除其他结果外）对于每个 $m\in(1,\infty)$，有 $$\frac{m-1}{2m-1}\|\sup_{t\in[0,\tau]}\mathbb{E}(d(X_{t-},X_\tau)|\mathcal F_t)\|_m\le \|\sup_{t\in[0,\tau]}d(X_0,X_t)\|_m\le c\frac{m^2}{m-1} \|\sup_{t\in[0,\tau]}\mathbb{E}(d(X_{t-},X_\tau)|\mathcal F_t)\|_m$$ 其中 $c$ 是一个普适常数。这是关于尖锐极大函数的 Fefferman--Stein 估计的概率版本。前一个不等式很容易从 Doob 鞅不等式推导出来，而后一个不等式则是本文得到的加权 BMO 过程的 John--Nirenberg 不等式的推论。我们解释了如何利用 John--Nirenberg 不等式以统一的方式得到关于鞅的新旧不等式。