范德瓦尔斯方程的数学分析

对参数化三次范德瓦尔斯多项式 $p V^3 - (R T + b p) V^2 + a V - a b$ 进行数学分析,并揭示了一些新的普适特征(理论上,对任意物质都成立)——若不允许压力取负值[温度不低于 $1/(4Rb)$],则等压-等温线上三个体积的定位区间为:$3b/2 < V_A \le 3b$,$\,\, 2b < V_B < (3 + \sqrt{5})b$,以及 $3b \le V_C < RT/p + b = V_0 + b$(其中 $V_0$ 为克拉珀龙理想气体体积)。对于更低的温度,根 $V_A$ 的下界为 $b$,而 $V_B$ 的定位区间为 $b < V_B < 2a/(R \, \tau)$,其中 $\tau > 0$ 为该模型的新最低温度。范德瓦尔斯模型的不稳定态也被普适地定位:它们位于 $V_B$ 定位区间内的一个区间中。文中还基于麦克斯韦假设的前提,讨论了如何求解体积 $V_{A, B, C}$。