$p$-进 Stein 空间的 $\mathbb{G}_m$-上同调

我们计算了某些 $p$-进刚性解析 Stein 空间的 étale $\mathbb{G}_m$-上同调。该计算通过考虑由 $\mathbb{G}_m$ 的主单位群子群 $U=1+ \mathfrak{m} \mathcal{O}^+$ 诱导的滤过完成。随后我们通过 $p$-进 Hodge 理论的方法（过渡到 pro-étale 景点，与 $p$-进上同调的比较定理）确定 $U$-上同调，而 $\mathbb{G}_m/U$-上同调则使用 Kummer 正合序列获得。特别地，我们的公式适用于 Drinfeld 上半空间的情况。