滴水龙头混沌现象的流形学习方法

水龙头滴水是展现丰富非线性现象的典型例子。对于此类系统，在真实实验中可以直接观测到水滴从水龙头分离的时间戳，而分离间隔 $\tau_n$ 的时间序列成为分析对象。即使第 $n$ 次分离开始时水滴的质量 $m_n$（无法直接观测）表现出完全确定性的动力学，有时也无法从 $\tau_n$ 的时间序列中获取重要信息。这是因为 $\tau_{n-1}$ 对 $\tau_n$ 的回归图可能成为多值函数，即非确定性动力系统。本文提出一种方法，从 $\tau_n$ 的时间序列构建非线性坐标，作为内部状态 $m_n$ 的“替代”。该方法的关键在于使用流形学习中著名的 ISOMAP 算法。我们首先将其应用于滴水龙头系统唯象质量-弹簧模型数值模拟生成的 $\tau_n$ 时间序列。结果表明，该方法能获得清晰的一维映射，其 Lyapunov 指数、拓扑熵和时间相关函数等特征量与原始滴水龙头系统一致。此外，我们还分析了真实滴水龙头实验数据，同样得到了有希望的结果。