张量不变量的机器学习

我们提出了一种数据驱动方法，用于识别可由具有给定对称结构的张量构造的函数独立不变量。我们的算法首先枚举表示张量乘积不等价缩并的图或张量网络，使用随机生成的数据计算这些标量的实例，然后利用数值线性代数寻找不变量之间的线性关系。这些关系产生 syzygies（代数约束），即关联不同不变量的函数依赖关系。我们在一个扩展案例研究中应用了该方法，研究六维反对称 $3$-形式 $H_{\mu \nu \rho}$ 可构造的独立不变量，发现了五个独立不变量。此结果证实，此类 $3$-形式的最一般 Lagrangian（取决于 $H_{\mu \nu \rho}$ 但不取决于其导数）是五个变量的任意函数，并且我们给出了将其他不变量与该生成集中五个独立标量相关联的显式公式。