LSA-PINN:用于复杂几何上求解偏微分方程的直线性边界连通性损失

我们提出了一种新颖的损失函数构造,用于利用物理信息神经网络(PINNs)从通常由偏微分方程(PDEs)描述的控制物理中高效学习复杂动力学。在我们的实验中,现有版本的 PINNs 在许多问题中学习效果很差,尤其在复杂几何上,因为在近边界区域建立恰当的采样策略变得愈发困难。过于密集的采样若局部梯度行为过于复杂以致 PINN 无法充分建模,会对训练收敛产生不利阻碍。另一方面,若样本过于稀疏,现有 PINN 倾向于过拟合近边界区域,导致错误解。为防止此类问题,我们提出一种新的边界连通性(BCXN)损失函数,为 PINN 在边界处的梯度行为提供线性局部结构近似(LSA)。我们的 BCXN 损失在训练期间隐式施加局部结构,从而以数量级更稀疏的训练样本促进整个问题域上的快速物理信息学习。该 LSA-PINN 方法在标准 L2 范数度量下误差比现有方法小几个数量级,同时使用的训练样本和迭代次数大幅减少。我们提出的 LSA-PINN 对网络的可微性质无任何要求,并在当前 PINN 文献中常用的多层感知机和卷积神经网络版本上展示了其优势与易实现性。