LREI：求解量子 Landau-Lifshitz 方程的快速数值求解器

我们开发了 LREI（Low-Rank Eigenmode Integration），这是一种用于求解量子 Landau-Lifshitz（q-LL）和量子 Landau-Lifshitz-Gilbert（q-LLG）方程的内存和时间高效方案，这些方程 govern open quantum systems 中的自旋动力学。尽管系统规模随自旋数量呈指数增长，但我们的做法利用密度矩阵的低秩结构和哈密顿量的稀疏性，避免了完整矩阵计算。通过对密度矩阵采用低秩因子表示并应用 Krylov 子空间方法进行部分特征分解，我们将 Runge-Kutta 和 Adams-Bashforth 方法的每步复杂度从 $\mathcal{O}(N^3)$ 降低到 $\mathcal{O}(r^2N)$，其中 $N = 2^n$ 是 n 个自旋的希尔伯特空间维数，$r \ll N$ 为有效秩。同样，内存需求从 $\mathcal{O}(N^2)$ 降低到 $\mathcal{O}(rN)$，因为不形成完整的 $N\times N$ 矩阵。一个关键进展是处理零特征值的不变子空间。通过使用为主特征空间构建的 Householder 反射器，我们在不使用大型矩阵的情况下完成求解。例如，一个二十自旋系统的时间步，密度矩阵规模超过一百万，现在只需几秒钟即可在标准笔记本电脑上完成。重新制定的 Runge-Kutta 和 Adams-Bashforth 方法能够在演化过程中保持密度矩阵的物理性质。这种低秩算法使得对更大自旋系统的仿真成为可能，这些系统此前是不可行的，为比较 q-LL 和 q-LLG 动力学、测试每个模型的有效性，以及探索量子特征（如相关性和纠缠）如何随系统规模和阻尼程度的不同而演化提供了强大的工具。