多项式序列及其根的最小公倍数的下界

Cilleruelo 猜想，对于次数 $d \geq 2$ 的不可约多项式 $f \in \mathbb{Z}[X]$，记 $$L_f(N)=\mathrm{lcm}(f(1),f(2),\ldots f(N))$$ 则有 $$\log L_f(n)\sim(d-1)N\log N.$$ 他在 $d=2$ 的情形下证明了该猜想，但对所有 $d>2$ 的多项式，该猜想仍未解决。虽然已知紧上界 $\log L_f(n)\lesssim (d-1)N\log N$，但 Sah 给出的目前已知最佳一般下界为 $\log L_f(n)\gtrsim N\log N.$ 我们给出一类特殊不可约多项式的改进下界，该类包含可分解的不可约多项式 $f=g\circ h,\,g,h\in\mathbb Z[x],\mathrm{deg}\, g,\mathrm{deg}\, h\ge 2$，对此我们证明 $$\log L_f(n)\gtrsim \frac{d-1}{d-\mathrm{deg}\, g}N\log N.$$ 我们还改进了 Sah 关于根 $\ell_f(N)=\mathrm{rad}(L_f(N))$ 的下界 $\log\ell_f(N)\gtrsim \frac 2dN\log N$，使之对所有 $d\ge 3$ 的 $f$ 成立，并对具有小 Galois 群且满足额外技术条件的多项式以及可分解多项式给出了进一步改进。