反铁磁 $J_1-J_2$ 模型的低温热力学：熵、临界点与自旋能隙

反铁磁 $J_1-J_2$ 模型是一个自旋-1/2 链，具有第一近邻间各向同性交换 $J_1 > 0$ 和第二近邻间 $J_2 = \alpha J_1$。该模型同时支持具有非简并基态的无能隙量子相，以及具有 $\Delta(\alpha) > 0$ 和二重简并基态的有能隙相。精确热力学仅限于 $\alpha = 0$ 的线性海森堡反铁磁体（HAF）。在小系统上于阻挫 $\alpha$ 处进行精确对角化，随后通过密度矩阵重整化群（DMRG）计算，得到逐步增大至 $N = 96$ 或 152 个自旋的系统的熵密度 $S(T,\alpha,N)$ 和磁化率 $\chi(T,\alpha,N)$。在 $\alpha < 1$ 和 $\alpha > 1$ 扇区中，证明了向热力学极限 $S(T,\alpha)$ 或 $\chi(T,\alpha)$ 在 $T/J \sim 0.01$ 以下收敛。$S(T,\alpha)$ 给出了具有 $S^\prime(0,\alpha) > 0$ 的无能隙相与具有 $S^\prime(0,\alpha) = 0$ 的有能隙相之间的临界点。在具有大 $\Delta(\alpha)$ 的链中直接获得 $T^*(\alpha)$ 处的 $S^\prime(T,\alpha)$ 极大值，对小能隙则通过外推获得。针对低至 $T = 0$ 的 $S(T,\alpha)$ 的现象学近似表明，相对于 $\exp(-\Delta(\alpha)/T)$ 存在幂律偏离 $T^{-\gamma(\alpha)}$，其指数 $\gamma(\alpha)$ 随 $\alpha$ 增大。$\chi(T,\alpha)$ 分析也给出幂律偏离，但指数 $\eta(\alpha)$ 随 $\alpha$ 减小。$S(T,\alpha)$ 和自旋密度 $\rho(T,\alpha) = 4T\chi(T,\alpha)$ 分别探测强关联自旋态的热涨落和磁涨落。无能隙链在 $T < 0.10$ 时具有恒定的 $S(T,\alpha)/\rho(T,\alpha)$。值得注意的是，在具有大（小）$\Delta(\alpha)$ 的链中，该比值随 $T$ 减小（增大）。