未知对应关系下的低秩矩阵恢复

我们研究了一个具有未知对应关系的矩阵恢复问题：给定观测矩阵 $M_o=[A,\tilde P B]$，其中 $\tilde P$ 是一个未知的置换矩阵，我们的目标是恢复底层矩阵 $M=[A,B]$。此类问题常见于许多应用中，这些应用利用异构数据，且数据间的对应关系未知，例如出于隐私考虑。我们证明，在 $M$ 满足适当低秩条件的情况下，通过求解核范数最小化问题可以恢复 $M$，并为 $M$ 的恢复提供了可证明的非渐近误差界。我们提出了一种名为 $\text{M}^3\text{O}$（通过极小极大优化进行矩阵恢复）的算法，该算法将此组合问题重新表述为一个连续的极小极大优化问题，并通过带有最大预言机的近端梯度法求解。$\text{M}^3\text{O}$ 也可应用于更一般的场景，即 $M_o$ 中存在缺失条目，且有多组具有不同未知对应关系的数据。在模拟数据、MovieLens 100K 数据集和 Yale B 数据库上的实验表明，$\text{M}^3\text{O}$ 在多个基线方法上达到了最先进的性能，并能以高精度恢复真实的对应关系。