凸松弛的力量：近最优矩阵补全

本文关注从一小部分已知条目中恢复未知矩阵的问题。这被称为矩阵补全问题，出现在大量应用中，包括著名的Netflix Prize以及协同过滤中的其他类似问题。通常，从少量条目中精确恢复矩阵是不可能的；但未知矩阵具有低秩这一知识从根本上改变了这一前提，使得寻找解决方案变得有意义。本文给出了最优性结果，量化了通过任何方法精确恢复秩为r的矩阵所需的最小条目数（信息论极限）。更重要的是，本文表明，在矩阵奇异向量满足某些非相干性假设的条件下，一旦条目数达到信息论极限的量级（对数因子范围内），就可以通过求解一个便捷的凸规划来实现恢复。这个凸规划简单地寻找所有与观测条目一致的矩阵中核范数最小的那个。例如，我们表明，通过任何方法恢复一个随机n×n秩为r的矩阵需要约nr log(n)个样本，并且可以肯定的是，一旦条目数达到nr polylog(n)的量级，核范数最小化就能成功。