基于占位测度的广义梯度流长时间行为

本文引入新方法研究定义在平坦环面 $\mathbb{T}^d$ 上的力学哈密顿系统临界方程解所关联的广义梯度流的长时间行为。进行此分析需考察 $u$ 的临界集，该集合由 $\mathbb{T}^d$ 上所有使得 0 属于该解超微分的点构成。事实上，该集合被证明是广义梯度流的吸引子。此外，由于临界集是两个性质迥异的子集（即正则临界集与奇异集）的并集，我们关注广义梯度流在 $t\to \infty$ 时趋于前者还是后者。我们分析的一个关键工具是极限占位测度，这是一族在广义流下保持不变的测度。我们证明，通过对势函数关于此类测度进行积分，可以推断广义梯度流是在有限时间内进入奇异集，还是在时间趋于无穷时趋于正则临界集。