具有两类广义反射系数的 KdV 方程 $N_{\infty}$-孤子解的长时间渐近行为

我们借助在区间 $\left[\eta_1, \eta_2\right]\in \mathbb{R}^+$ 上具有两类广义反射系数的 Riemann-Hilbert (RH) 问题，系统研究了 KdV 方程 $N_{\infty}$-孤子解在不同区域的长时间渐近行为：$r_0(\lambda,\eta_0; \beta_0, \beta_1,\beta_2)=\left(\lambda-\eta_1\right)^{\beta_1}\left(\eta_2-\lambda\right)^{\beta_2}\left|\lambda-\eta_0\right|^{\beta_0}\gamma\left(\lambda\right)$，$r_c(\lambda,\eta_0; \beta_1,\beta_2)=\left(\lambda-\eta_1\right)^{\beta_1}\left(\eta_2-\lambda\right)^{\beta_2}\chi_c\left(\lambda, \eta_0\right)\gamma \left(\lambda\right)$，其中奇点 $\eta_0\in (\eta_1, \eta_2)$ 且 $\beta_j>-1$ ($j=0, 1, 2$)，$\gamma: \left[\eta_1, \eta_2\right] \to\mathbb{R}^+$ 在 $\left[\eta_1, \eta_2\right]$ 上连续且为正，并可解析延拓至该区间的某邻域，而阶跃函数 $\chi_c$ 定义为：当 $\lambda\in\left[\eta_1, \eta_0\right)$ 时 $\chi_c\left(\lambda,\eta_0\right)=1$，当 $\lambda\in\left(\eta_0, \eta_2\right]$ 时 $\chi_c\left(\lambda,\eta_0\right)=c^2$，其中 $c>0, \, c\ne1$。利用 Deift-Zhou 最速下降法分析 RH 问题的关键一步，是如何在端点 $\eta_j$ 与奇点 $\eta_0$ 附近构造局部参数解。具体而言，对于端点 $\eta_j$ 使用指标为 $\beta_j$ 的修正 Bessel 函数；若反射系数分别为 $r_0$ 和 $r_c$，则在奇点 $\eta_0$ 附近分别采用指标为 $\left(\beta_0\pm 1\right)\left/\right.2$ 的修正 Bessel 函数与合流超几何函数。这项综合研究拓展了对广义反射系数的理解，并为孤子气体的渐近行为提供了有价值的见解。