二维球面映射的Lojasiewicz不等式

我们证明了对于映射 $u \in W^{2,2}\left( S^2, S^2 \right)$ 的Lojasiewicz-Simon不等式 $$\left| E(u) - 4\pi n \right| \leq C \| \mathcal{T}(u) \|^\alpha$$。该不等式在一般情况下成立，$\alpha = 1$，除非 $u$ 在开集上几乎为常数，此时 $\alpha > 1$。我们得到了调和映射流 $u(t) : S^2 \to S^2$ 的弱解在紧致区域远离奇异集时当 $t \to \infty$ 的多项式收敛性，假设体映射非常数。证明使用了Topping的排斥估计以及来自泡树归纳论证的能量密度的多项式下界。