经典集合论中的悖论逻辑

集合论悖论有一个共同根源——缺乏对为何某些多数体不是集合的理解。为何某些思想对象的多数体本身不能是思想对象？此外，这样一个逻辑真理是存在的：此类多数体确实存在。然而，我们对此逻辑真理的理解不如对例如逻辑真理 $\forall x \ x=x$ 的理解那样好。在本文中，我们提出一个我们称之为生产性原理的逻辑真理。Bertrand Russell 是首位提出该原理的人，但其形式受限且目的不同。该原理阐明了位于悖论性多数体背后的逻辑机制，并且像任何简单逻辑真理一样可被理解。然而，它并不解释集合的概念。它仅在经典二值 $\in$ - 语言的框架内设定了该概念的逻辑边界。该原理充当我们所构建的用以解释和描述集合的任何理论的逻辑调节器。它提供了在该理论内部识别悖论类工具。我们展示了已知的悖论类如何由生产性原理推出，以及该原理如何为我们提供一种生成新悖论类的统一方法。在 $ZFC$ 集合论的情形下，生产性原理表明大小限制原理具有限制性，且它们并不解释哪些类是集合。作为逻辑调节器，生产性原理可在一致集合论的发展中发挥明确的启发式作用。我们勾勒了这样一种理论——累积基数集合论。