次协调与次完全 Zermelo-Fraenkel 集合论

我们提出在四值次协调且次完全逻辑中处理集合论的新方法，即命题可同时为真和假，以及既非真也非假的逻辑。我们的方法与此前次协调集合论研究有显著背离，后者几乎完全由避免罗素悖论和满足朴素概括的欲望所驱动。相反，我们优先建立一个具有清晰非经典集合本体论的系统，可用于对非完全与不一致现象进行非正式推理，并且与 ZFC 足够相似以发展有趣的数学。我们提出公理系统 BZFC，通过分析 ZFC 公理并将其谨慎翻译到四值设定而获得，避免了其他形式化尝试所遇到的诸多障碍。我们引入假定非经典集合存在的反经典性公理，并证明一个令人惊讶的结果：单个非经典集合的存在足以产生任何其他类型的非经典集合。我们的理论与 ZFC 自然互译，并提供了一种哲学上令人满意的视角，其中非经典集合可被视为经典集合的自然扩展，类似于 Peter Aczel 的非良基集合。最后，我们给出一个关于 Tarski 语义的有趣应用，表明满足关系的经典定义产生精确反映元理论中非经典性的逻辑。