通过一致近似计算的 $k$-暴胀功率谱中的对数发散

我们研究了一种基于一致近似（UA）并结合关于所谓\textit{turning point}的 $e$-折叠数展开的慢滚参数展开方案，来求解慢滚 $k$-暴胀中 Mukhanov-Sasaki 方程的计算方法。与其他半解析方法（例如格林函数和 WKB 方法）相比，该方法的早期工作已从功率谱等的近似表达式中获得了一些有前景的结果，这些结果关于 Hubble 和声波流参数最高达到二阶。然而，更仔细的检查暗示，当考虑功率谱的高阶部分时存在一个问题；可能出现残余的对数发散，使得预言在物理上不一致。鉴于这种可能性，我们梳理了在遭遇对数发散结果之前，上述参数所能计算到的若干物理量的阶数。结果表明，功率谱限于最高二阶，张量-标量比最高三阶，而谱指数和跑动则对所有阶收敛。这表明该展开方案与从 UA 导出的功率谱工作方程不相容，但与谱指数的工作方程相容。对于那些在高阶部分涉及对数发散项的物理量，文献中以等效方式计算的收敛低阶部分的现有结果应谨慎看待；它们并不建立在坚实的数学基础上。