由最优传输与 R\'enyi 几何得到的对数散度

散度，亦称对比函数，是定义在非负测度或概率测度流形上的类距离量。利用最优传输中的对偶性，我们引入并研究了单参数族 $L^{(\pm \alpha)}$-散度。它包含对应于欧氏二次代价的 Bregman 散度，以及 Pal 与作者因投资组合理论与对数代价函数而引入的 $L$-散度。它们容许指数族的自然推广，该推广与 $\alpha$-族和 $q$-指数族密切相关。特别地，相应势函数的 $L^{(\pm \alpha)}$-散度即为 R\'{e}nyi 散度。利用这一统一框架，我们证明所诱导的几何是双重射影平坦且具有常截面曲率的，并成立一个广义勾股定理。反之，我们证明若一统计流形是常曲率 $\pm \alpha$（$\alpha > 0$）的双重射影平坦，则它局部上由一 $L^{(\mp \alpha)}$-散度所诱导。我们在该情形下定义了一正则散度，其推广了双重平坦流形上的相应散度。