Riemann曲面万有覆盖空间上的Loewner链

设R为带边界$\partial R$的双曲Riemann曲面，并假设$\gamma:[0,T]\to R\cup\partial R$是一条从R的边界生长出的简单曲线。通过覆盖映射$\pi:\mathbb{H}\to R$，将$R_{t}=R\setminus \gamma(0,t]$提升至R的万有覆盖空间（我们假设其为上半平面$\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C}:Im[z]>0\}$），我们可以定义一族单连通区域$D_{t}=\pi^{-1}(R_{t})$。对于每个$t\in[0,T]$，假设$f_{t}$是从$\mathbb{H}$到$D_{t}$的共形映射，且$f(z,t)=f_{t}(z)$关于$t$在$(0,T)$内几乎处处可微。在本文中，我们将推导一个描述$f(z,t)$如何随时间$t$演化的微分方程。这应被视为Loewner微分方程向带边界Riemann曲面上曲线的推广。本文的动机是希望将Schramm的随机Loewner演化（SLE）推广到多连通区域和Riemann曲面。