凸台球非标准生成函数的局部极大轨道及其应用

给定一个具有生成函数$H$且满足所谓负扭转条件$H_{12}>0$的柱面上的精确辛映射$T$，我们研究$T$的局部极大轨道，即作用泛函$\sum_n H(q_n,q_{n+1})$的局部极大组态。我们给出了一个组态为局部极大的充要条件。利用它，我们考虑$T$关于两组不同辛坐标有两个生成函数的情况。我们提出一个简单的几何条件，保证关于这两个生成函数的局部极大轨道集重合。作为主要应用，我们证明平面Birkhoff台球的两个生成函数满足该几何条件。我们应用它得到如下结果：考虑一条中心对称的曲线$\gamma$，其Birkhoff台球映射具有由$4$-周期轨道构成的旋转不变曲线$\alpha$。我们证明$\gamma$与其“最佳逼近”椭圆之间的某个$L^2$距离可由位于$\alpha$与相柱边界之间由局部极大轨道所填充集合之补集的测度从上方控制。此外，该估计是尖锐的，给出了近期关于中心对称曲线Birkhoff猜想结果的一个有效版本。我们也得到任意曲线$\gamma$的类似界，将局部极大轨道集补集的测度与$\gamma$和其“最佳逼近”圆之间的$L^2$距离联系起来。