双尺度亥姆霍兹型问题的局部正交分解

本文针对双尺度亥姆霍兹型问题，提出了一种 Petrov-Galerkin 格式的局部正交分解（LOD）方法。该双尺度问题，例如，源于对高对比度亥姆霍兹方程的均匀化研究，并已在 (Ohlberger, Verfürth. A new Heterogeneous Multiscale Method for the Helmholtz equation with high contrast, arXiv:1605.03400, 2016) 中与相应的多尺度方法一同被研究。在那里，观察到了一个关于波数对网格尺寸不可避免的分辨率条件，这在有限元文献中被称为“污染效应”。遵循 (Gallistl, Peterseim. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 295:1-17, 2015) 的思想，我们使用标准有限元函数作为试探空间，而检验函数则通过在局部区域上求解子尺度问题（在更细网格上求解）来丰富。只要表示区域大小的过采样参数 $m$ 与波数呈对数耦合，我们就能在每个波长几个自由度的合理分辨率下获得准最优方法，从而克服污染效应。在双尺度背景下，LOD 的主要挑战在于函数空间的耦合和周期性边界条件。