局部 zeta 函数与 Koba-Nielsen 弦振幅

本文综述了我们近期关于 Koba-Nielsen 振幅与局部 zeta 函数（在 Gel'fand、Weil、Igusa、Sato、Bernstein、Denef、Loeser 等人的意义下）之间联系的工作。我们的研究计划源于 p 进弦似乎以某些有趣的方式与普通弦相关这一事实。例如，通过 adelic 关系以及当 p 趋于 1 时的极限建立联系。Gerasimov 与 Shatashvili 研究了 Brekke、Freund、Olson 和 Witten 引入的 p 进有效作用量的 p 趋于 1 极限。他们表明该极限给出了边界弦场论，后者此前由 Witten 在背景无关弦论背景下提出。在 4 点与 5 点情形下的显式计算表明，Gerasimov-Shatashvili 拉格朗日量的树级 Feynman 振幅与 p 进 Koba-Nielsen 振幅的 p 趋于 1 极限相关。在数学层面上，此现象与 Denef 和 Loeser 引入的拓扑 zeta 函数深度关联。Koba-Nielsen 振幅正是一种新型局部 zeta 函数，可用嵌入奇点消解来研究。由此，人们展示了 Koba-Nielsen 振幅作为运动学参数函数的亚纯延拓之存在性。Koba-Nielsen 局部 zeta 函数是可在任意局部域（例如 R、C、$Q_{p}$、$F_{p}((T))$）上定义的代数几何积分，期望这些对象间存在联系是完全自然的。Koba-Nielsen 振幅的 p 趋于 1 极限给出了一种新振幅，我们称之为 Denef-Loeser 振幅。贯穿全文，我们强调了 4 点与 5 点情形下的显式计算。