面向可扩展与良态区域分解随机特征方法的局部特征过滤
数值分析
2025-09-03 v2 数值分析
摘要
随机特征方法（RFM）及其变体，如极限学习机有限基物理信息神经网络（ELM-FBPINs），通过使用局部化、重叠且随机初始化的神经网络基函数来逼近偏微分方程（PDE）的解，并通过求解结构化最小二乘问题训练这些基函数以最小化 PDE 残差，从而提供了一种求解 PDE 的可扩展方法。这种结合利用了随机神经网络的逼近能力和区域分解的并行性。然而，由于随机基函数之间的局部冗余，所得的最小二乘系统通常严重病态，这显著影响了标准求解器的收敛。在本工作中，我们引入了一种块秩显露 QR（RRQR）过滤与预处理策略，直接作用于结构化最小二乘问题。首先，局部 RRQR 分解识别并移除冗余基函数，同时保留数值上有信息的基函数，从而减小问题规模并改善条件数。其次，我们利用这些分解为全局问题构造一个右预处理子，该预处理子保持了块稀疏性和数值稳定性。第三，我们推导了预处理系统条件数的确定性界限，并针对小重叠情况给出了概率细化。我们在具有挑战性的 1D、2D 和 (2+1)D 多尺度 PDE 问题上验证了我们的方法，结果表明条件数降低了多达十一个数量级，LSQR 收敛速度提升了 10 至 1000 倍，并且比未预处理和加法 Schwarz 预处理基线具有更高的精度，且所有这些均在显著更低的内存和计算成本下实现。这些结果确立了基于 RRQR 的预处理作为基于 RFM 的 PDE 求解器的一种可扩展、精确且高效的增强手段。
引用
@article{arxiv.2506.17626,
title = {Local Feature Filtering for Scalable and Well-Conditioned Domain-Decomposed Random Feature Methods},
author = {Jan Willem van Beek and Victorita Dolean and Ben Moseley},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.17626},
year = {2025}
}