DAG中最低公共祖先的列举、验证与计数：算法与细粒度下界

AP-LCA问题要求，给定一个 $n$ 节点的有向无环图（DAG），为DAG中的每一对顶点 $u$ 和 $v$ 计算它们的一个最低公共祖先（LCA）（如果存在）。在本文中，我们研究了AP-LCA的几个有趣变体，并为此提供了算法和细粒度下界。我们获得的下界是LCA问题中首个高于 $n^{\omega-o(1)}$ 的条件下界，其中 $\omega$ 是矩阵乘法指数。我们的部分结果包括：- 在任何DAG中，我们可以在 $O(n^\omega)$ 时间内检测所有最多有两个LCA的顶点对，并列出它们所有的LCA。该算法扩展了 [Kowaluk and Lingas ESA'07] 的结果，后者展示了一种 $\tilde{O}(n^\omega)$ 时间的算法，用于检测DAG中具有唯一LCA的所有顶点对并输出其对应的LCA。- 在3-一致5-团超图检测需要 $n^{5-o(1)}$ 时间的流行假设下，在DAG中为每个顶点对列举 $7$ 个LCA需要 $n^{3-o(1)}$ 时间。这令人惊讶，因为如果 $\omega=2$，列出所有LCA本质上只需立方时间就足够了。- 在强指数时间假设下，为DAG中的每个顶点对计算LCA的数量需要 $n^{3-o(1)}$ 时间，而在 $4$-团假设下需要 $n^{\omega(1,2,1)-o(1)}$ 时间。这表明 [Echkardt, M"{u}hling and Nowak ESA'07] 提出的为每个顶点对列出所有LCA的算法很可能是最优的。- 给定一个DAG以及每个顶点对 $u,v$ 的一个顶点 $w_{u,v}$，在3-一致4-团超图需要 $n^{4 - o(1)}$ 时间的假设下，验证所有 $w_{u,v}$ 是否为有效的LCA需要 $n^{2.5-o(1)}$ 时间。这违背了验证比计算更容易的普遍直觉，因为为每个顶点对返回某个LCA可以在 $O(n^{2.447})$ 时间内解决 [Grandoni et al. SODA'21]。