DAG 中的全点对 LCA：突破 $O(n^{2.5})$ 壁垒

设 $G=(V,E)$ 为一个 $n$ 顶点有向无环图（DAG）。两个顶点 $u$ 和 $v$ 的最低公共祖先（LCA）是 $u$ 和 $v$ 的一个公共祖先 $w$，使得 $w$ 的任何后代都不具有该性质。在本文中，我们考虑计算 DAG 中所有顶点对的 LCA（若存在）的问题。该问题已知最快的算法利用快速矩阵乘法子程序，运行时间从 $O(n^{2.687})$ [Bender et al. SODA'01] 到 $O(n^{2.615})$ [Kowaluk and Lingas ICALP'05] 和 $O(n^{2.569})$ [Czumaj et al. TCS'07] 不等。有些令人惊讶的是，即使矩阵乘法可以最优求解（即 $\omega=2$），所有这些界仍会是 $\Omega(n^{2.5})$。这似乎是当前所有已知方法的一个固有壁垒，从而自然引出了能否突破该问题 $O(n^{2.5})$ 壁垒的疑问。在本文中，我们肯定地回答了该问题：特别地，我们提出了一种 $\tilde O(n^{2.447})$（当 $\omega=2$ 时为 $\tilde O(n^{7/3})$）的算法，用于寻找 DAG 中所有顶点对的 LCA，这是过去 13 年来该问题运行时间的首次改进。我们方法中的一个关键工具是一种快速算法，对于给定的参数 $\ell$，将 $G$ 的传递闭包的顶集划分为 $O(\ell)$ 条链和 $O(n/\ell)$ 个反链的集合。通常，链是一条路径，而反链是一个独立集。然后，我们分别从链顶点和反链顶点中为所有顶点对寻找一个\emph{候选} LCA。第一组通过归约到最小-最大矩阵乘法获得。第二组的计算可类似于该问题的先前结果归约到布尔矩阵乘法。我们最终以谨慎（非显然）的方式将两种解结合在一起。