Galois 环上 Reed-Solomon 码与折叠 Reed-Solomon 码的列表解码

列表解码可视为码的唯一解码的扩展。虽然有限域上的列表解码已被广泛研究，但将这些结果推广到如 Galois 环等更一般的代数结构仍是一个重要挑战。由于零知识系统的最新进展，对 Galois 环上码的接近差距需求日益增长，Yizhou Yao 等人(2025)、Alexander Golovne 等人(2023)、Yuanju Wei 等人(2025)均对此进行了研究。接近差距与码的解码能力密切相关。Eli Ben-Sasson 等人(2020)指出，若考虑列表解码而非唯一解码，RS 码在有限域上的接近差距可提升至 $1-\sqrt{r}$。然而，我们对 Galois 环上的 RS 码了解很少，这可能阻碍基于环的算术电路的零知识证明系统开发。在本文中，我们首先将 Guruswami 与 Sudan 的列表解码程序推广到 Galois 环上的 Reed-Solomon 码，表明速率为 $r$ 的 RS 码可达到 $1-\sqrt{r}$ 的解码半径。随后，我们研究 Galois 环上折叠 Reed-Solomon 码的列表解码。我们证明折叠 Reed-Solomon 码的列表解码半径可达到其有限域对应项的 Singleton 界限。最后，我们通过将 Shashank Srivastava(2025)的最新工作推广到 Galois 环，提高了折叠 Reed-Solomon 码的列表大小至 $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$。此外，在组合层面，通过发展 Yeyuan Chen 与 Zihan Zhang(2025)的最新工作，我们展示 Galois 环上的折叠 Reed-Solomon 码在平均-半径意义下满足松弛的广义 Singleton 界限，列表大小为最优的 $O(1/\varepsilon)$。