对任意陪域的同态码进行列表译码

同态码 $\operatorname{aHom}(G,H)$ 的码字是两个有限群 $G$ 与 $H$ 之间的仿射同态，推广了 Hadamard 码。继 Goldreich--Levin (1989)、Grigorescu 等人 (2006)、Dinur 等人 (2008) 以及 Guo 和 Sudan (2014) 的工作之后，我们进一步扩展了可进行局部列表译码直至码的最小距离 $\textsf{mindist}$ 的群的范围。特别地，我们首次不要求 $G$ 或 $H$ 可解。具体而言，当 $G$ 为阿贝尔群或交错群、$H$ 为任意（有限或无限）群时，我们证明了列表大小（即与任意接收字距离在 $(\textsf{mindist}-\varepsilon)$ 内的码字数量）的 $\operatorname{poly}(1/\varepsilon)$ 界。我们猜想对以所有有限单群为定义域的情形均有类似界；交错群作为首个测试用例。阿贝尔群对任意群的结果使我们能调整先前技术以获得该情形下的高效局部列表译码。我们还得到了交错群置换表示（即当陪域为对称群 $S_m$ 时）在定义域 $G=A_n$ 与陪域 $H=S_m$ 满足 $m < 2^{n-1}/\sqrt{n}$ 限制下的高效局部列表译码。后一情形中对陪域的限制源于某些情况下需解决同态扩展（HomExt）问题所带来的严重技术困难；这些在另一论文（Wuu 2018）中处理。不过，我们引入了称为证书列表译码的中间‘半算法’模型，可绕过 HomExt 瓶颈并适用于交错群对任意群的情形。证书列表译码器产生可唯一扩展为列表中同态的部分同态。