基于图论分解的对称 Toeplitz 矩阵 Frobenius 标准型线性时间计算

我们引入了一种线性时间算法，通过图论方法利用对称 Toeplitz 矩阵固有的结构性质来计算其 Frobenius 标准型 (FNF)。作者先前的结果已证明，对称 Toeplitz 矩阵的 FNF 显式表示为对称不可约 Toeplitz 矩阵的直和，每个矩阵对应于相关联加权 Toeplitz 图中的连通分量。传统矩阵分解算法（如 Storjohann 方法 (1998)）通常具有三次时间复杂度。此外，标准的图分量识别算法（如广度优先或深度优先搜索）的运行时间与顶点和边呈线性关系，对于像加权 Toeplitz 图这样的稠密图，这转化为仅关于顶点的二次时间复杂度。我们的方法独特地利用了加权 Toeplitz 图的结构规律性，通过两种新颖的归约操作实现了严格关于顶点的线性时间复杂度：\alpha 型归约（消除孤立顶点）和 \beta 型归约（应用剩余类收缩以实现快速结构简化，同时保留分量结构）。这些归约操作促进了高效的递归分解过程，使得图分量识别和最终的 FNF 计算均达到线性时间性能。这项工作突显了结构化组合表示如何能在符号线性代数中带来显著的计算增益。